الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط
مقدمةعنالأعدادالمركبة
الأعدادالمركبة(ComplexNumbers)هيأعدادتتكونمنجزأين:جزءحقيقيوجزءتخيلي.تُكتبعادةًبالصيغةa+bi،حيث:
-aهوالجزءالحقيقي
-bهوالجزءالتخيلي
-iهيالوحدةالتخيلية،حيثi²=-1الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط
تعتبرالأعدادالمركبةامتدادًاللأعدادالحقيقية،وتستخدمفيالعديدمنالمجالاتمثلالهندسةالكهربائية،الفيزياء،ومعالجةالإشارات.
خصائصالأعدادالمركبة
الجمعوالطرح:
عندجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالتخيليةبشكلمنفصل.
مثال:
(3+2i)+(1+4i)=(3+1)+(2+4)i=4+6i
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط
الضرب:
عندضربعددينمركبين،نستخدمخاصيةالتوزيعونأخذفيالاعتبارأنi²=-1.
مثال:
(2+3i)×(1+2i)=2×1+2×2i+3i×1+3i×2i=2+4i+3i+6i²=-4+7i
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط
القسمة:
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط
لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام(Conjugate)لإزالةالجزءالتخيليمنالمقام.
مثال:
(1+i)/(1-i)=[(1+i)(1+i)]/[(1-i)(1+i)]=(1+2i+i²)/(1-i²)=i
التمثيلالهندسيللأعدادالمركبة
يمكنتمثيلالعددالمركبa+biكنقطةفيالمستوىالإحداثي(المستوىالمركب)،حيث:
-المحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي(a)
-المحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي(b)
هذاالتمثيليُعرفباسممخططأرغاند(ArgandDiagram)،ويساعدفيفهمالعملياتالجبريةهندسيًا.
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسطالصيغةالقطبيةللأعدادالمركبة
يمكنالتعبيرعنالعددالمركبباستخدامالصيغةالقطبية:
z=r(cosθ+isinθ)
حيث:
-rهوالمقدار(Modulus)،ويُحسببالعلاقةr=√(a²+b²)
-θهوالزاوية(Argument)،وتُحسببالعلاقةθ=tan⁻¹(b/a)
تستخدمالصيغةالقطبيةفيتبسيطعملياتالضربوالقسمةوالأسس.
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسطتطبيقاتالأعدادالمركبة
- الهندسةالكهربائية:تُستخدمفيتحليلدوائرالتيارالمتردد(ACCircuits).
- معالجةالإشارات:تساعدفيتحليلالإشاراتباستخدامتحويلفورييه(FourierTransform).
- الميكانيكاالكمية:تلعبدورًاأساسيًافيمعادلاتالموجةوالدوالالموجية.
الخلاصة
الأعدادالمركبةهيأداةرياضيةقويةتُستخدمفيالعديدمنالتطبيقاتالعلميةوالهندسية.منخلالفهمأساسياتهاوخصائصها،يمكنحلمشكلاتمعقدةفيمختلفالمجالات.
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسطالأعدادالمركبة(الأعدادالعقدية)هيأحدأهمالمفاهيمفيالرياضياتالحديثة،حيثتمثلتوسيعًالمجموعةالأعدادالحقيقية.فيهذاالمقال،سنستعرضتعريفالأعدادالمركبة،خصائصهاالأساسية،تمثيلهاالبياني،وكيفيةإجراءالعملياتالحسابيةعليها.
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسطتعريفالأعدادالمركبة
العددالمركبهوعدديمكنالتعبيرعنهبالصيغة:
[z=a+bi]
حيث:
-(a)و(b)هماعددانحقيقيان
-(i)هيالوحدةالتخيلية،وتحقق(i^2=-1)
يُطلقعلى(a)الجزءالحقيقيللعددالمركب،بينمايُسمى(b)الجزءالتخيلي.
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسطالتمثيلالبيانيللأعدادالمركبة
يمكنتمثيلالأعدادالمركبةعلىالمستوىالمركب(مستوىأرجاند)،حيث:
-المحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي
-المحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي
بهذاالتمثيل،يصبحكلعددمركبنقطةفيالمستوى،ممايسهلفهمالعملياتالجبريةهندسيًا.
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسطالعملياتالأساسيةعلىالأعدادالمركبة
الجمعوالطرح:
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط
يتمجمعأوطرحالأعدادالمركبةعنطريقجمع/طرحالأجزاءالحقيقيةوالتخيليةبشكلمنفصل:
[(a+bi)\pm(c+di)=(a\pmc)+(b\pmd)i]الضرب:
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط
يتمضربالأعدادالمركبةباستخدامخاصيةالتوزيعومراعاةأن(i^2=-1):
[(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i]القسمة:
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط
لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام:
[\frac{ a+bi}{ c+di}=\frac{ (a+bi)(c-di)}{ c^2+d^2}]
الصيغةالقطبيةللأعدادالمركبة
يمكنالتعبيرعنالعددالمركبباستخدامالصيغةالقطبية:
[z=r(\cos\theta+i\sin\theta)]
أوبشكلأويلر:
[z=re^{ i\theta}]
حيث:
-(r=\sqrt{ a^2+b^2})هوالمقياس(القيمةالمطلقة)
-(\theta=\arctan(\frac{ b}{ a}))هوالسعة(الزاوية)
هذهالصيغةمفيدةخاصةفيعملياتالضربوالأسس،حيث:
[z_1\timesz_2=r_1r_2e^{ i(\theta_1+\theta_2)}]
تطبيقاتالأعدادالمركبة
للأعدادالمركبةتطبيقاتواسعةفي:
-الهندسةالكهربائية(تحليلالدوائرالمتناوبة)
-معالجةالإشارات
-ميكانيكاالكم
-الرسوماتالحاسوبية
الخلاصة
الأعدادالمركبةأداةرياضيةقويةتوسعنطاقالأعدادالحقيقيةوتقدمحلولًاللمعادلاتالتيلايوجدلهاحلفينطاقالأعدادالحقيقية.فهمهايتطلبإدراككلاالجانبينالجبريوالهندسي،ممايجعلهاموضوعًاغنيًافيالرياضياتوتطبيقاتهاالعملية.
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط